Геометрические преобразования симметрии

1495
Геометрические преобразования симметрии - композиция М. Эшера «Ящерицы»
Геометрические преобразования симметрии - композиция М. Эшера «Ящерицы»

Строители Акрополя сочетали отдельные симметричные приемы, характерные для простильных и перистильных схем античности с асимметричным размещением зданий в ансамбле. О. Шуази писал, что «каждый мотив, взятый в отдельности, симметричен, но группировка сооружений рассматривается как пейзаж с уравновешенными массами. Так действует и природа листья дерева симметричны, а дерево представляет собой уравновешенную массу».

Строго говоря, абсолютная в сложных архитектурных сооружениях невозможна. Оформление сложной функции влечет отклонения от четкой симметричной . Частично нарушенная , где выпадает один из ее элементов, называется диссимметрией.


Геометрические преобразования симметрии
Геометрические преобразования симметрии

Устранение даже мелкой детали в симметричной системе нарушает зрительное , порождает напряжение во всей композиции. Любое отклонение останавливает внимание, беспокоит зрителя. Такое воздействие нарушенной симметрии используется как художественное средство, вызывая эмоциональный эффект при восприятии.

Вспомним, природа не терпит точных симметрии, и большинство симметрии возникает при некоторой идеализации задачи, а учет влияния более сложных взаимодействий приводит к нарушению симметрии. Даже законы сохранения, связанные с пространственной симметрией незначительно, все же нарушаются неоднородностью вселенной во времени и пространстве. Академик А. Мигдал полагает, что система, обладающая высокой симметрией, может иметь менее симметричные решения.

Теоретики симметрии так формулируют связь между основными ее значениями: «Симметрия состоит из асимметрий и диссимметрий и определяется через них».

В общефилософском толковании симметрия представляет собой специфическое проявление диалектического закона об единстве противоположностей. Она является как бы формой существования этого единства. Причем термин симметрия употребляется в двояком смысле: как антипод асимметрии и как общее понятие, охватывающее две его противоположные составляющие. Если собственно симметрия (тезис) связана с сохранением, инвариантностью, стабильностью, повторяемостью и обратимостью процессов, то асимметрия (антитезис) — причина изменения, нарушения покоя, необратимости процессов и динамического равновесия систем, и симметрия (синтез) объединяет эти формы бытия в целое.

Согласно принципу дополнительности, сформулированному Н. Бором: «Противоположности не противоречивы, а дополнительны, и в противоречащих друг другу явлениях мы имеем дело с различными, но одинаково существенными аспектами единого, четко определенного комплекса сведений об объектах».

Основное значение для всего учения о симметрии имеет понятие относительного равенства предметов. Два предмета называются равными относительно того или иного признака, если оба они обладают этим признаком. В природе нет и не может быть абсолютного равенства двух разобщенных в пространстве или времени предметов. В реальном, или относительном равенстве требуется указание критерия или меры равенства. Вводя меру равенства для каждого признака, мы вводим представление о более или менее широком равенстве двух предметов. Установление равенства оценивает не только количественные, но и качественные признаки двух предметов. Симметрия предметов предполагает геометрическое и физическое равенство его частей. Под геометрическим равенством в данном случае подразумевается либо совместимое равенство (конгруэнтность), либо зеркальное равенство.

Геометрические преобразования симметрии
Геометрические преобразования симметрии

Рассмотрение равномерных и однородных делений пространства ведет к теории точечных решеток, давшей возможность в течение последнего столетия создать кристаллографию своеобразный перекресток науки, где сходятся , молекулярная химия и общая теория симметрии.

Существует семь основных групп симметрии. Комбинирование числа осей симметрии и другие преобразования позволяют получить на базе этих групп 230 возможных типов точечных решеток, делящих на однородные элементы.

Среди 230 вариаций однородного деления пространства есть, например, кубические и гексагональные решетки и все их взаимные сочетания, но отсутствует как элемент пятиугольник. То же касается кристаллических и геометрических образований, существующих в неорганической природе, где мы встречаем тетраэдр, куб, октаэдр и все «архимедовы» и их производные тела, но никогда не встречаем «Платоновых» тел пентагональной структуры, т. е. ни додекаэдра, ни икосаэдра, ни их производных. В частности, снежные кристаллы одно из характернейших проявлений гексагональной симметрии. Однако при переходе к рассмотрению живых и содержащих жизнь систем пятиугольник и излюбленный Платоном додекаэдр обнаруживают свое разнообразие. Стоит перелистать ботанический атлас или книгу по зоологии, чтобы заметить, как часто в них появляются пятигранные формы.

С понятием относительного равенства сопряжено представление о геометрической закономерности. Физическое тело считается построенным геометрически закономерно, если его можно разделить без остатка на равные части относительно некоторого геометрического признака, например способа построения. Запись геометрической закономерности может быть представлена в виде числа или формулы.

Геометрические преобразования симметрии
Геометрические преобразования симметрии

Соподчиненность частей композиции опирается на соразмерность элементов, выраженную в системе пропорций. Различные теории пропорций сопровождали архитектуру на всех этапах ее истории.

Суть всех концепций пропорций в установлении закономерной упорядоченности, которая способна привести композицию к и единству. Представление о любой закономерности, арифметической (числовой) или геометрической, входит в понятие симметрии. Опираясь на понятие геометрической закономерности, Дж. Хэмбидж строит свою концепцию «динамической симметрии» следующим образом.

Представление о геометрической закономерности подводит нас к понятию архитектурной симметрии, которое базируется на частном понятии преобразований. Этот момент особенно важен, он помогает уловить смысловую общность между представлением о симметричной закономерности и привычным пониманием категорий архитектурной композиции: равенства, подобия, пропорций и т. п.

Геометрические преобразования симметрии - композиция М. Эшера «Ящерицы»
Геометрические преобразования симметрии — композиция М. Эшера «Ящерицы»

Геометрические преобразования симметрии наглядно представлены в орнаменте. Архитектурная практика чаще всего имеет дело именно с орнаментальными закономерностями симметрии, в том числе и цветовыми. Когда обращаются к цветной симметрии (специальному разделу учения о симметрии) в той или иной науке, то обычно понимают под цветом своеобразный код различных физических свойств объекта. В области искусства цветная симметрия позволяет изобразить разнообразие аналогий расположений.

Примером может служить известная композиция М. Эшера «Ящерицы». Шесть ящериц группируются вокруг точки, в которой соприкасаются их лапки. Симметрия узора зависит от того, учитывается ли цвет ящериц белый, красный и черный. Это разноцветье знакомит нас с понятием, ускользнувшим от внимания основоположников теории симметрии, которая начала широко разрабатываться в XIX в. и занималась рассмотрением объектов, тождественных во всех отношениях, кроме цвета.

Геометрические преобразования симметрии - композиция М. Эшера «Ящерицы»
Геометрические преобразования симметрии — композиция М. Эшера «Ящерицы»